Vida de fractal

1 d'octubre 2018

Els fractals fascinen tothom qui els veu. Què tenen per provocar aquesta sensació? I per què els trobem tot sovint a la natura?

FL12_CAT_Fractals

Per a Teresa.

Els fractals gaudeixen de cert predicament per la seva estètica i per l’encís de la regularitat amagada sota un patró aparentment irregular. En realitat els fractals són objectes matemàtics posats en l’agenda dels matemàtics per Mandelbrot, qui els va batejar el 1975, tot i que es venia treballant en ells des de principis del segle XX. Aquest estiu, en una sessió divulgativa en el meravellós entorn pirinenc del Centre d’Art i Natura de Farrera, el matemàtic Francesc Mañosas els definia per dues propietats: autosimilitud a diferents escales i geometria complexa. Aquesta complexitat es pot estimar mitjançant un indicador, l’anomenada dimensió fractal. Un cub és un objecte matemàtic 3-dimensional amb autosimilitud exacta a diferent escala —de fet, els matemàtics reconeixen diferents tipus d’autosimilitud més o menys perfectes—, ja que si reduïm a la meitat cada costat obtenim 8 cubs idèntics més petits. Com estem en tres dimensions, hem d’elevar el factor de reducció de cada costat, 2, a la dimensió 3 per obtenir els vuit cubs que completen de manera autosimilar el cub inicial. La dimensió fractal pot expressar-se com la potència a la qual s’eleva el factor que determina la reducció, o canvi d’escala —al nostre exemple, 2—, per tornar a reproduir la mateixa forma a una escala major (23 = 8). Però un cub és un objecte geomètric regular, amb una dimensió fractal de 3: és poc complex, no seria pròpiament un fractal. En els fractals, aquesta dimensió no és un nombre sencer, el que demostra el seu caràcter complex. Com més s’acosta a aquest nombre sencer, més complet és l’empaquetament de la forma de dimensió inferior, com una superfície que és 2-dimensional, en la forma de la dimensió superior, en el nostre cas un volum, que és 3-dimensional.

Mandel_zoom_08_satellite_antenna

Les formes fractals combinen auto-similitud a diferents escales i complexitat geomètrica. Autor: Wolfgang Beyer (Wikipedia)

El gran atractiu dels fractals és que reprodueixen bastant bé entitats físiques que trobem a la natura. Algunes d’elles, com les ones electromagnètiques, les fem servir contínuament, encara que no siguin visibles. De fet, les propietats dels fractals s’han aplicat al disseny d’objectes tan útils com les antenes receptores dels cotxes o els mòbils, per posar un parell d’exemples. Però els fractals tenen un indubtable efecte estètic per aquesta combinació d’irregularitat dins d’un patró. Com suggeria la violoncel·lista Gabrielle Deakin a l’esmentada sessió, els humans ens sentim embadalits per les subtils sorpreses que proporcionen diferents interpretacions d’un paisatge musical previsible, prefixat en una partitura de J.S. Bach. Som éssers vius conscients que busquem un control de l’entorn, sense sorpreses que són freqüentment hostils, per exemple, en forma de depredadors o d’accidents. Però apreciem les variacions que enriqueixen la nostra dieta, la dotació genètica dels nostres descendents gràcies a les trobades amoroses amb membres d’altres grups, i en última instància les nostres vivències i records. De nou trobem sentit a la combinació entre repetició i raresa que caracteritza la vida, i que hem vingut a anomenar biodiversitat.

galiza

Línia de costa gallega il·lustrant una estructura fractal de la natura, en la qual es repeteix el patró de la línia a diferents escales. Font: Google Earth

Els fractals han estat àmpliament usats en disseny visual, i és innegable la seva potència estètica. A més de formes abstractes que reprodueixen patrons i variacions, ens meravella la seva capacitat de recrear formes que trobem a la natura, com els flocs de neu, les línies de la costa, les ramificacions de les arrels o de les branques dels arbres. Per aquest motiu els fractals són utilitzats per construir mitjançant algoritmes paisatges i escenografies en els entorns digitals de les pel·lícules. Són un bell exemple de la connexió entre matemàtiques i natura. Però una ment racional no es conforma amb contemplar patrons, sinó que s’esforça a comprendre les causes. La ciència es caracteritza per la cerca crítica de la comprensió del món mitjançant la contrastació d’hipòtesis amb observacions empíriques o experimentals. El físic Jorge Wagensberg es va emprar a fons per explicar per què trobem una sèrie de formes geomètriques àmpliament esteses en la naturalesa, com l’esfera, l’hexàgon, l’angle, l’ona, la paràbola, l’espiral, l’hèlix, i els fractals. Segons Wagensberg, les formes fractals representen una manera d’explorar intensivament el medi, en particular per part de les entitats biològiques. Té sentit, però no deixa de ser una explicació descriptiva en la que podem aprofundir una mica més.

Els fractals han estat àmpliament usats en disseny visual, i és innegable la seva potència estètica. A més de formes abstractes que reprodueixen patrons i variacions, ens meravella la seva capacitat de recrear formes que trobem a la natura, com els flocs de neu, les línies de la costa, les ramificacions de les arrels o de les branques dels arbres.

Una de les claus per entendre la presència dels fractals a la natura és que el medi no és homogeni; si ho fos la millor forma d’explorar-lo seria un front que aniria avançant regularment ocupant l’entorn. Imaginem una forma inanimada, com un cristall de sal. Creix amb autosimilitud a diferents escales en un medi homogeni, però no és un fractal perquè la seva geometria és simple: creix igual en totes direccions perquè res no li ho impedeix, mentre hi hagi prou molècules de sal al seu abast. Vegem un altre exemple biològic, les arrels de les plantes. Apreciem fractalitat en les successives ramificacions que repeteixen el seu patró conforme l’arrel es ramifica i es fa més fina. Ho fa d’aquesta forma perquè les arrels van explorant un mitjà molt heterogeni, com és el sòl. Busquen l’aigua i els nutrients entre els intersticis de les pedres i els grumolls més consolidats del sòl. La repetició del patró de ramificació —l’autosimilitud fractal— apareix perquè la restricció que posa el mitjà al creixement es manté a diferents escales espacials. L’arrel en el seu conjunt pot contemplar el sòl sobre el que creix com una sèrie de zones accessibles plenes de recursos, però estan immerses entre obstacles de pedres i arrels gruixudes. És un panorama similar al contemplat per les arrels fines, només que per a elles les zones amb recursos són mil·limètriques i qualsevol pedreta representa un gran obstacle. En contraposició, una planta que creix en un medi homogeni, com les que viuen en basses i tolls formen ramells d’arrels totes similars, poc ramificades: no trobem gaire fractalitat en la seva disposició. En les parts aèries dels vegetals, les branques també es ramifiquen buscant els serrells de llum.

plantafractal

Els fractals s’aprecien en les fulles d’algunes plantes, en les quals es repeteixen els patrons de les formes a diferents escales. Font: Francisco Lloret

Els patrons fractals de la natura en realitat sorgeixen de la tensió entre el medi i el propi objecte fractal: ecologia en estat pur. L’autosimilitud entre escales apareix com una resposta comuna a l’heterogeneïtat del medi que manté les seves característiques a diferents escales (la força de l’aigua davant de la resistència de les roques de la costa, la radiació interceptada per les fulles inserides en les branques de la capçada d’un arbre, l’aigua oculta a terra i que és capturada per les arrels). Al seu torn, els éssers vius responen a aquesta heterogeneïtat d’acord amb les seves pròpies limitacions anatòmiques i físiques. Els patrons de ramificació d’arrels i branques o de creixement de les fulles estan normalment fixats genèticament; per altre banda, les arrels molt fines s’acaben trencant fàcilment. És a dir, les entitats biològiques tenen constriccions pròpies, físiques o genètiques que fan que no puguin créixer de totes les formes possibles. Aquestes constriccions també es manifesten en la naturalesa històrica dels éssers vius. La forma que adquireix una arrel o una copa d’arbre reflecteix la història del seu creixement. Les ramificacions de primer ordre que veiem en un arbre corresponen a les primeres ramificacions de les tiges de l’arbre, quan pròpiament no s’havia desenvolupat la seva fractalitat. Així, en la fractalitat dels éssers vius es recull una instantània del procés de desenvolupament d’aquest ésser. I en aquest procés intervenen molts fets casuals que es donen amb certa probabilitat, és el que anomenem amb una certa estocasticitat. Un passejant que trenca una branca incipient, una rasa que deixa al descobert part d’una arrel o una pedra que es troba a la dreta o a l’esquerra de l’àpex de creixement de l’arrel. Tots aquests esdeveniments allunyen la forma fractal dels éssers vius de la perfecció formal matemàtica. De fet, Mandelbrot, el pare dels fractals, ja feia veure l’interès d’introduir l’estocasticitat en l’anàlisi d’aquests objectes geomètrics.

En ecologia, s'utilitzen índexs de fractalitat com a mesura de l'estructura d'un paisatge, és a dir, de la rugositat de les seves taques, el que està relacionat amb la seva relació perímetre / superfície.

Com veiem, les condicions que generen fractalitat en la naturalesa són relativament restringides. No totes les formes que trobem són fractals, no sempre es produeix aquesta autosimilitud a diferent escala. Les petites variacions en el medi o en la història del creixement dels éssers vius fan que les formes fractals de la natura no siguin perfectes des del punt de vista matemàtic, ni tampoc mantinguin la seva autosimilitud de forma indefinida a qualsevol escala. De fet, una estimació de les variacions en la fractalitat de les formes naturals pot ser un indicador d’anomalies en el manteniment de les forces que generen la forma o de les constriccions que operen al llarg del procés de la seva generació. Una pèrdua de la fractalitat ens pot indicar una disminució de complexitat estructural i una menor resistència davant forces externes. En medicina s’utilitza la mesura de la fractalitat de les cavitats dins de certs ossos per valorar l’osteoporosi. En ecologia, s’utilitzen índexs de fractalitat com a mesura de l’estructura d’un paisatge, és a dir, de la rugositat de les seves taques, el que està relacionat amb la seva relació perímetre / superfície. Aquesta mesura ens indica la capacitat dels diferents tipus de taques d’interactuar a diferents escales entre si i amb la matriu del paisatge. És a dir, ens parla de l’àrea de contacte a través de la qual es poden produir els diferents fluxos ecològics (matèria, energia, però també dispersió d’organismes). Així, es pot valorar si la colonització d’un bosc en una matriu de camps agrícoles abandonats opera de manera similar al voltant d’una taca o en el conjunt d’un vessant, o si la fragmentació d’un bosc tropical reflecteix una forma jeràrquica, fractal, de construcció de vies d’accés.

mosaicpaisatge

Paisatge agroforestal on la seva estructura fractal ens informa de la capacitat d’interactuar entre els diferents tipus de taques. Font: Google Earth

Com és propi de la ciència, el més interessant no és quedar-se atònit davant els patrons que ens brinda la natura, sinó intentar comprendre les seves causes a partir d’una anàlisi racional que contrasta hipòtesis amb observacions i experiments. Sovint, en aquesta indagació les pistes bones apareixen quan es trenquen els patrons, ja que les causes que els ocasionen deixen de funcionar. Prospectar a quina escala desapareix la fractalitat en la naturalesa ens pot indicar un canvi substancial en les forces que operen en els subjectes ecològics. Analitzar les discrepàncies en l’autosimilitud a diferents escales ens parla de les contingències històriques i de la multiplicitat de factors que interaccionen per constituir els sistemes ecològics. En tot cas, els fractals mostren una vegada més l’estreta relació entre les lleis matemàtiques i el funcionament de la natura. Així, l’impacte estètic dels patrons visuals fractals cobra més força amb la seva comprensió.

,

Francisco Lloret
Professor d’Ecologia de la UAB. Investigador del CREAF en temes d’ecologia de la vegetació i canvi global. President de l’Asociación Española de Ecología Terrestre.
Articles relacionats
,
Disponible en format digital el llibre Ecologia Urbana d’en Jaume Terradas
17 d'octubre 2018CREAF
Guerres pel petroli
4 d'octubre 2018Jaume Terradas
,
En record de Josep Maria Serrano Farrera
7 de setembre 2018Jaume Terradas
,
“Un augment de la temperatura superior a 2 ºC pot desencadenar efectes irreversibles al planeta”
23 d'agost 2018Albert Naya i Díaz
Seguim entre el Tigris i l’Èufrates
21 d'agost 2018Jaume Terradas

Follow CREAF on: