Vida de fractal

1 de octubre 2018

Los fractales fascinan a todo el mundo que los ve. ¿Qué tienen para provocar esta sensación? ¿Y por qué los encontramos a menudo en la naturaleza?

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Para Teresa.

Los fractales gozan de cierto predicamento por su estética y por ese encanto de la regularidad escondida bajo un patrón aparentemente irregular. En realidad, los fractales son objetos matemáticos puestos en la agenda de los matemáticos por Mandelbrot, quien los bautizó en 1975, aunque se venia trabajando en ellos desde principios del siglo XX. Este verano, en una sesión divulgativa en el maravilloso entorno pirenaico del Centre d’Art i Natura de Farrera, el matemático Francesc Mañosas los definía por dos propiedades: autosimilitud a diferentes escalas y geometría compleja. Esta complejidad puede estimarse mediante un indicador, la llamada dimensión fractal. Un cubo es un objeto matemático 3-dimensional con autosimilitud exacta a diferente escala —de hecho, los matemáticos reconocen diferentes tipos de autosimiltud más o menos perfectas—, ya que si reducimos a la mitad cada lado obtenemos 8 cubos idénticos más pequeños. Como estamos en tres dimensiones, debemos elevar el factor de reducción de cada lado, 2, a la dimensión 3 para obtener los ocho cubos que completan de forma autosimilar el cubo inicial. La dimensión fractal puede expresarse como la potencia a la que se eleva el factor que determina la reducción, o cambio de escala, —en nuestro ejemplo, 2— para volver a reproducir la misma forma a una escala mayor (2= 8). Pero un cubo es un objeto geométrico regular, con una dimensión fractal de 3: es poco complejo, no sería propiamente un fractal. En los fractales, esa dimensión no es un número entero, lo que demuestra su carácter complejo. Cuanto más se acerca a ese número entero, más completo es el empaquetamiento de la forma de dimensión inferior, como una superficie que es 2 dimensional, en la forma de la dimensión superior, en nuestro caso un volumen, que es 3-dimensional.

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Las formas fractales combinan auto-similitud a diferentes escalas y complejidad geométrica. Autor: Wolfgang Beyer (Wikipedia)

El gran atractivo de los fractales es que reproducen bastante bien entidades físicas que encontramos en la naturaleza. Algunas de ellas, como las ondas electromagnéticas, las usamos continuamente, aunque no sean visibles. De hecho, las propiedades de los fractales se han aplicado al diseño de objetos tan útiles como las antenas receptoras de los coches o los móviles, por poner un par de ejemplos. Pero los fractales tienen un indudable efecto estético por esa combinación de irregularidad dentro de un patrón. Como sugería la violoncelista Gabrielle Deakin en la mencionada sesión, los humanos nos sentimos embelesados por las sutiles sorpresas que proporcionan diferentes interpretaciones de un paisaje musical previsible, prefijado en una partitura de J. S. Bach. Somos seres vivos conscientes que buscamos un control del entorno, sin sorpresas que son frecuentemente hostiles, por ejemplo, en forma de depredadores o de accidentes. Pero apreciamos esas variaciones que enriquecen nuestra dieta, la dotación genética de nuestros descendientes gracias a los encuentros amorosos con miembros de otros grupos, y en última instancia nuestras vivencias y recuerdos. De nuevo encontramos sentido a la combinación entre repetición y rareza que caracteriza la vida, y que hemos venido en llamar biodiversidad.

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Línea de costa gallega ilustrando una estructura fractal de la naturaleza, en la que se repite el patrón de la línea a diferentes escalas. Fuente: Google Earth

Los fractales han sido ampliamente usados en diseños visuales, y es innegable su potencia estética. Además de formas abstractas que reproducen patrones y variaciones, nos maravilla su capacidad de recrear formas que encontramos en la naturaleza, como los copos de nieve, las líneas de la costa, las ramificaciones de las raíces o de las ramas de los árboles. Por ese motivo los fractales son usados para construir mediante algoritmos paisajes y escenografías en los entornos digitales de las películas. Son un hermoso ejemplo de la conexión entre matemáticas y naturaleza. Pero una mente racional no se conforma con contemplar patrones, sino que se esfuerza en comprender las causas. La ciencia se caracteriza por la búsqueda crítica de la comprensión del mundo mediante el contrastar hipótesis con observaciones empíricas o experimentales. El físico Jorge Wagensberg se empleó a fondo para explicar el por qué encontramos una serie de formas geométricas ampliamente extendidas en la naturaleza, como la esfera, el hexágono, el ángulo, la onda, la parábola, la espiral, la hélice, y los fractales. Según Wagensberg, las formas fractales representan una manera de explorar intensivamente el medio, en particular por parte de las entidades biológicas. Tiene sentido, pero no deja de ser una explicación descriptiva en la que podemos profundizar algo más.

Los fractales han sido ampliamente usados en diseños visuales, y es innegable su potencia estética. Además de formas abstractas que reproducen patrones y variaciones, nos maravilla su capacidad de recrear formas que encontramos en la naturaleza, como los copos de nieve, las líneas de la costa, las ramificaciones de las raíces o de las ramas de los árboles.

Una de las claves para entender la presencia de los fractales en la naturaleza es que el medio no es homogéneo; si lo fuera la mejor forma de explorarlo sería un frente que iría avanzando regularmente ocupando el entorno. Imaginemos una forma inanimada, como un cristal de sal. Crece con autosimilitud a diferentes escalas en un medio homogéneo, pero no es un fractal por que su geometría es simple: crece igual en todas direcciones por que nada se lo impide mientras haya moléculas de sal a su alcance. Veamos otro ejemplo biológico, las raíces de las plantas. Apreciamos fractalidad en las sucesivas ramificaciones que repiten su patrón conforme la raíz se ramifica y se hace más fina. Lo hace de esa forma porque las raíces van explorando un medio muy heterogéneo, como es el suelo. Buscan el agua y los nutrientes entre los intersticios de las piedras y los grumos más consolidados del suelo. La repetición del patrón de ramificación —la autosimilitud fractal— aparece por que la restricción que pone el medio al crecimiento se mantiene a diferentes escalas espaciales. La raíz en su conjunto puede contemplar el suelo sobre el que crece como una serie de zonas accesibles repletas de recursos, pero están inmersas entre obstáculos de piedras y raíces gruesas. Es un panorama similar al contemplado por las raíces fines, sólo que para ellas las zonas con recursos son milimétricas y cualquier piedrecilla representa un gran obstáculo. En contraposición, una planta que crece en un medio homogéneo, como las que viven en pozas y charcas forman ramilletes de raíces todas similares, apenas ramificadas: no encontramos fractalidad en su disposición. En las partes aéreas de los vegetales, las ramas también se ramifican buscando los flecos de luz.

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Los fractales se aprecian en las hojas de algunas plantas, en las que se repiten los patrones de las formas a diferentes escalas. Fuente: Francisco Lloret

Los patrones fractales de la naturaleza en realidad surgen de la tensión entre el medio y el propio objeto fractal: ecología en estado puro. La autosimilitud entre escalas aparece como una respuesta común a la heterogeneidad del medio que mantiene sus características a diferentes escalas (la fuerza del agua frente a la resistencia de las rocas de la costa, la radiación interceptada por las hojas insertas en las ramas de la copa de un árbol, el agua oculta en el suelo que es capturada por las raíces). A su vez, los seres vivos responden a esa heterogeneidad de acuerdo con sus propias limitaciones anatómicas y físicas. Los patrones de ramificación de raíces y ramas o de crecimiento de las hojas están normalmente fijados genéticamente; por otro lado, las raíces muy finas se acaban rompiendo fácilmente. Es decir, las entidades biológicas tienen constricciones propias, físicas o genéticas que hacen que no puedan crecer de todas las formas posibles. Estas constricciones también se manifiestan en la naturaleza histórica de los seres vivos. La forma que adquiere una raíz o una copa de árbol refleja la historia de su crecimiento. Las ramificaciones de primer orden que vemos en un árbol corresponden a las primeras ramificaciones de los tallos del árbol, cuando propiamente no se había desarrollado su fractalidad. Así, en la fractalidad de los seres vivos se recoge una instantánea del proceso de desarrollo de ese ser. Y en ese proceso intervienen muchos hechos casuales que se da con cierta probabilidad, es lo que llamamos con una cierta estocasticidad. Un paseante que rompe una rama incipiente, una zanja que deja al descubierto parte de una raíz o una piedra se encuentra a la derecha o a la izquierda del ápice de crecimiento de la raíz. Todos esos eventos alejan la forma fractal de los seres vivos de la perfección formal matemática. De hecho, Mandelbrot, el padre de los fractales, ya hacía ver el interés de introducir la estocasticidad en el análisis de estos objetos geométricos.

En ecologia, s'utilitzen índexs de fractalitat com a mesura de l'estructura d'un paisatge, és a dir, de la rugositat de les seves taques, el que està relacionat amb la seva relació perímetre / superfície.

Como vemos, las condiciones que generan fractalidad en la naturaleza son relativamente restringidas. No todas las formas que encontramos son fractales, no siempre se produce esa autosimilitud a diferente escala. Las pequeñas variaciones en el medio o en la historia del crecimiento de los seres vivos hacen que las formas fractales de la naturaleza no sean perfectas desde el punto de vista matemático, ni tampoco mantengan su autosimilitud de forma indefinida a cualquier escala. De hecho, una estimación de las variaciones en la fractalidad de las formas naturales puede ser un indicador de anomalías en el mantenimiento de las fuerzas que generan la forma o de las constricciones que operan a lo largo del proceso de su generación. Una pérdida de la fractalidad nos puede indicar una disminución de complejidad estructural y una menor resistencia ante fuerzas externas. En medicina se utiliza la medida de la fractalidad de las cavidades dentro de ciertos huesos para valorar la osteoporosis. En ecología, se utilizan índices de fractalidad como medida de la estructura de un paisaje, es decir, de la “rugosidad” de sus manchas, lo que está relacionado con su relación perímetro/superficie. Esta medida nos indica la capacidad de los diferentes tipos de manchas de interactuar a diferentes escalas entre sí y con la matriz del paisaje. Es decir, nos habla del área de contacto a través de la que se pueden producir los diferentes flujos ecológicos (materia, energía, pero también dispersión de organismos). Así, se puede valorar si la colonización de un bosque en una matriz de campos agrícolas abandonados opera de forma similar alrededor de una mancha o en el conjunto de una ladera, o si la fragmentación de un bosque tropical refleja una forma jerárquica, fractal de construcción de vías de acceso.

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Paisaje agroforestal en el que su estructura fractal nos informa de la capacidad de interactuar entre los diferentes tipos de manchas. Fuente: Google Earth

Como es propio de la ciencia, lo más interesante no es quedarse atónito ante los patrones que nos brinda la naturaleza, sino intentar comprender sus causas a partir de un análisis racional que contrasta hipótesis con observaciones y experimentos. A menudo, en esa indagación las pistas buenas aparecen cuando se rompen los patrones, ya que las causas que los ocasionan dejan de funcionar. Prospectar a qué escala desaparece la fractalidad en la naturaleza nos puede indicar un cambio substancial en las fuerzas que operan en los sujetos ecológicos. Analizar las discrepancias en la autosimilitud a diferentes escalas nos habla de las contingencias históricas y de la multiplicidad de factores que interaccionan para constituir los sistemas ecológicos. En todo caso, los fractales muestran una vez más la estrecha relación entre las leyes matemáticas y el funcionamiento de la naturaleza. Así, el impacto estético de los patrones visuales fractales cobra más fuerza con su comprensión.

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Francisco Lloret
Professor d’Ecologia de la UAB. Investigador del CREAF en temes d’ecologia de la vegetació i canvi global. President de l’Asociación Española de Ecología Terrestre.
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